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Los teoremas fundamentales

En la sección anterior vimos que la acción de $PGL(2,\mathbb{R})$ sobre la recta real proyectiva es transitiva. De hecho, se dice mucho más en el siguiente teorema:

Teorema 2.1 (Primer teorema fundamental)   Si $x,y,z$ y $x',y',z'$ son dos ternas de puntos distintos sobre la recta proyectiva, entonces existe una única transformación proyectiva que lleva $x$ a $x'$, $y$ a $y'$y $z$ a $z'$.

La demostración se deduce del siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.1 (10)   Dadas $L_1,L_2,L_3$, tres rectas distintas que pasan por el origen de $\mathbb{R}^2$. Demostrar que es posible encontrar una base $\{v_1,v_2\}$ de $\mathbb{R}^2$ tal que $v_1$ va a $L_1$, $v_2$ va a $L_2$y $v_3:=v_1+v_2$va a $L_3$. Demostrar también que tal base es única salvo múltiplos.

Ejercicio 2.2 (05)   Demostrar el primer teorema fundamental.

Ejercicio 2.3 (10)   En este ejercicio, bosquejamos una prueba computacional del primer teorema fundamental.

1.    Probar que existe una única transformación de la forma

$$y\mapsto\frac{c+dy}{a+by}$$

que lleva una terna de números $y_0,y_1,y_2$ que representan las pendientes de tres rectas distintas, a $\infty,0,1$. Pista: si $y_0$ va al infinito, entonces la transformación debe ser de la forma.

2.    Escribir la fórmula para la transformación proyectiva que lleva $\infty,0,1$ a $y_0,y_1,y_2$(esto es, la inversa de la transformación anterior).

3.    Escribir la fórmula para la transformación que lleva $y_0,y_1,y_2$ a $y'_0,y'_1,y'_2$.

Ejercicio 2.4   Explicar como la figura siguiente constituye una tercera prueba del primer teorema fundamental (salvo la unicidad).

 

Habiendo visto que cualquier terna de puntos distintos se puede llevar sobre cualquier otra terna de puntos distintos mediante una única transformación proyectiva, no podemos esperar que se tenga lo mismo para las cuaternas de puntos.

Definición 2.2   Sea $l_0,l_1,l_2,l_3$ una cuaterna de puntos sobre la recta proyectiva con $l_0,l_1$y $l_2$distintos unos de otros, y sea $T$ la única transformación proyectiva que lleva $l_0,l_1$ y $l_2$sobre las rectas de pendientes $\infty,0$y $1$respectivamente. Se define la razón doble de los cuatro puntos $[l_0,l_1,l_2,l_3]$ como el punto $T(l_3)\in\mathbb{R}P^1$.

Proposición 2.3   Sea $S$ una transformación proyectiva y $l_0,l_1,l_2,l_3$ una cuaterna de puntos sobre la recta proyectiva con $l_0,l_1$ y $l_2$ distintos unos de otros, entonces la razón doble $[l_0,l_1,l_2,l_3]$ es igual a $[S(l_0),S(l_1),S(l_2),S(l_3)]$.

Ejercicio 2.5 (10)   Demostrar el resultado anterior.

Ejercicio 2.6 (05)   Identificando los puntos de la recta proyectiva con las pendientes de las rectas correspondientes, comprobar que la razón doble de cuatro números $[y_0,y_1,y_2,y_3]$se puede escribir como:

$$[y_0,y_1,y_2,y_3]\frac{y_2-y_0}{y_2-y_1}\frac{y_3-y_1}{y_3-y_0}$$

Ejercicio 2.7 (05)   Usar el ejercicio anterior para dar una prueba puramente computacional de la invarianza de la razón doble bajo transformaciones proyectivas.

Ejercicio 2.8 (05)   Una transformación proyectiva envía 0 a $1$, $1$ a $2$ y $2$ a 0. ¿Dónde envía el $3$?

Estamos ya preparados para dar una caracterización importante de las transformaciones proyectivas de la recta proyectiva real.

Teorema 2.4 (Segundo teorema fundamental)   Una aplicación de la recta proyectiva real en sí misma es una transformación proyectiva si y sólo si conserva razones dobles.

Vamos a hacer la demostración en los ejercicios siguientes.

Ejercicio 2.9 (05)   Probar que una aplicación de la recta proyectiva real en sí misma que conserva razones dobles y deja fijas las rectas de pendientes, $\infty,0$y $1$es la identidad.

Ejercicio 2.10 (05)   Probar el teorema 2.2.

Ejercicio 2.11 (05)   El objetivo de este ejercicio es estudiar el efecto de permutar los argumentos en el cálculo de la razón doble.

1.    Probar que $[a,b,c,d]=[b,a,c,d]^{-1}=[a,b,d,c]^{-1}$y $[a,b,c,d]+[a,c,b,d]=1$.

2.    A partir de 1, probar que si $[a,b,c,d]=k$, entonces los únicos valores posibles que se pueden obtener permutando $a,b,c$ y $d$ son: $k$, $k^{-1}$, $1-k$, $1-k^{-1}$, $(1-k)^{-1}$y $k/(k-1)$.

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