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Cuaternas armónicas y el teorema de Von Staudt

En el siglo diecinueve, algunos geómetras no estaban satisfechos con la caracterización de transformaciones proyectivas dadas por el segundo teorema fundamental alegando que no era suficientemente geométrico. En esta sección describimos la caracterización con la que estuvieron más conformes.

Definición 3.1   Una cuaterna de puntos sobre la recta proyectiva, se dice que es una cuaterna armónica si su razón doble es igual a $-1$.

Teorema 3.2   En la figura siguiente la cuaterna $x,y,z,t$ es armónica.

Ejercicio 3.1 (05)   Hallar en la figura dos perspectivas tal que su composición intercambia $x$ e $y$ y fija $z$ y $t$.

 

 

Ejercicio 3.2 (05)   Utilizar que las perspectividades conservan razones dobles para deducir el teorema del ejercicio anterior.

Teorema 3.3 (von Staudt)   Una transformación de la recta proyectiva en sí misma es proyectiva si sólo si conserva cuaternas armónicas.

Daremos la demostración en forma de ejercicios.

Ejercicio 3.3 (20)   Sea $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una aplicación que satisface las siguientes propiedades:

• $f(0)=0$, $f(1)=1$
• $f(x+y)=f(x)+f(y)$
• $f(x\cdot y=f(x)\cdot f(y)$

Probar que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Ejercicio 3.4 (00)   Probar que si $x$ e $y$ son números reales cualesquiera, entonces

• $[x,y,(x+y)/2,\infty]=-1$
• $[1,x^2,x,-x]=-1$

Ejercicio 3.5 (15)   Sea $T$ una aplicación de la recta proyectiva real en sí misma que conserva cuaternas armónicas y fija las rectas con pendientes $\infty,0$y $1$. Sea $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ la función tal que $f(x)$ es la pendiente de la imagen por $T$ de la recta de pendiente $x$. Probar que $f$satisface todas las hipótesis del ejercicio 3.3 y es, por lo tanto, igual a la identidad. Usar esto para demstrar el teorema de von Staudt.

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