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Definiciones Básicas

Definición 1.1   El espacio proyectivo real $n$-dimensional $\mathbb{R}P^n$es el conjunto de todas las rectas de $\mathbb{R}^{n+1}$ que pasan por el origen.

Nótese que si $v$ y $w$ son dos vectores no nulos que están sobre la misma recta que pasa por el origen, entonces son múltiplos el uno del otro. Esta observación nos permite redefinir $\mathbb{R}P^n$como el cociente de $\mathbb{R}^{n+1}/\{0\}$ por la relación de equivalencia $v\sim w$ si $v$ y $w$ son múltiplos uno del otro.

Ejercicio 1.1 (00)   Redefinir el espacio proyectivo como el cociente de la esfera unidad por alguna relación de equivalencia.

A partir de lo anterior demostrar que la aplicación $e^{i\theta}\mapsto e^{2i\theta}$ de $S^1\subset \mathbb{C}$en sí mismo, se puede usar para identificar $\mathbb{R}P^1$ con una circunferencia.

Ejercicio 1.2 (*05)   Sea $V$un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{F}$ y consideramos $P(V)$el espacio proyectivo asociado . ¿Si la dimensión de $V$es igual a $n$ y $\mathbb{F}$ tiene $p$ elementos, cuántos los elementos tiene $P(V)$?

Otro modo de ver $\mathbb{R}P^1$es como la recta real más un punto del infinito. Realmente, si identificamos cada recta que pasa por el origen con su pendiente, tenemos que todos los puntos en $\ P^1$ excepto la recta vertical se puede representar por un número. La recta vertical es el punto del infinito. Es importante tener presente que este no es el único modo de introducir coordenadas sobre la recta real proyectiva: también podríamos cortar cada recta que pasa por el origen con la recta $y=1$ y considerar la coordenada $x$ de la intersección. Ahora el punto del infinito es la línea horizontal que pasa por el origen.

 

Ejercicio 1.3 (05)   Sea una recta que pasa por el origen que no es ni vertical, ni horizontal. Las construcciones anteriores nos dan dos modos diferentes de representarla como un número. ¿Si en la primera representación este número es $y$, cuál es la fórmula para este número en la segunda representación?

Ejercicio 1.4 (00)   Probar que la acción de $GL(n+1,\mathbb{R})$ sobre $\mathbb{R}P^n$ definida por $(A;[v])\mapsto [A,v]$es transitiva. Probar que una matriz $A\in GL(n+1,R)$ fija todos los puntos del espacio proyectivo si y sólo si es un múltiplo de la identidad.

Definición 1.2   El grupo proyectivo $PGL(n,\mathbb{R})$,  $n>2$, es el cociente de $GL(n,\mathbb{R})$ por la siguiente relación de equivalencia: "dos matrices son equivalentes si son múltiplo la una de la otra".

Ejercicio 1.5 (00)   Usar el ejercicio 1.4 para definir una acción transitiva de $PGL(n,\mathbb{R})$sobre $\mathbb{R}P^n$. Demostrar que si un elemento del grupo proyectivo fija todos los puntos en el espacio proyectivo, entonces es la identidad.

Ejercicio 1.6 (00)   Dada $y$ la pendiente de la recta $l$ que pasa por el origen y dada

$$\left ( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right )$$

una matriz invertible. Comprobar que la pendiente de la recta $A(l)$ es igual a $(a+by)/(c+dy)$.

Este ejercicio nos dice que con coordenadas adecuadas, las transformaciones proyectivas tienen la forma $(y \mapsto a+by)/(c+dy)$.

Como se explica en [2], la geometría proyectiva surgió de las necesidades de los artistas para representar el mundo tridimensional sobre una lámina bidimensional. Un artista en TierraPlana, solamente tiene que preocuparse de representar un mundo bidimensional sobre una lona unidimensional. El siguiente gráfico muestra a un artista de TierraPlana que copia una imagen unidimensional sobre una lona. Nótese como se deforman distancias.

Este tipo de correspondencia entre los puntos de dos rectas se llama una perspectiva.

Ejercicio 1.7 (15)   ¿Cómo podríamos explicar a un artista de TierraPlana la importancia de la recta proyectiva y las transformaciones proyectivas para su trabajo?. Comenzar explicando por qué las perspectivas son transformaciones proyectivas.

Ejercicio 1.8 (15)   Caracterizar las perspectivas entre todas las transformaciones proyectivas y demostrar que una composición de perspectivas no es necesariamente una perspectiva.

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