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Definición 1.1 Sea espacio vectorial sobre . Se
llama espacio afín asociado a , a un conjunto y una aplicación tal que verifique los axiomas:
1 . y , tal que
2. ,
El axioma 1 quiere decir que
fijado un elemento de , hay una correspondencia biunívoca entre
los elementos de y los de . El axioma 2 es la llamada propiedad
triangular. El espacio afín, en este caso, se designa por , o simplemente .
Ejercicio 1.2 Utilizando los
axiomas 1 y 2 demostrar que:
1.
si y solo si .
2.
.
3.
Si
entonces .
Definición 1.3 Se define .
Definición 1.4 Sea un espacio afín y . Se dice que es subespacio afín de si el conjunto: es subespacio vectorial de .
Ejercicio 1.5 Probar que si es un subespacio afín
de entonces es un espacio afín asociado al espacio vectorial .
Ejercicio 1.6 Probar que dado un subespacio afín de
y , entonces los subespacios
vectoriales y , coinciden.
Ejercicio 1.7 Probar que es subespacio afín de
si y sólo si existe un subespacio vectorial de y un punto tal que .
Definición 1.8 El subespacio vectorial
se llama la dirección de y se denotará .
A los subespacios afines se
les llama variedades lineales afines. Una variedad lineal afín de dimensión
cero es de la forma y está constituida solamente por el punto. Las variedades de
dimensión 1, reciben el nombre de rectas y las de dimensión 2, se llaman
planos. Si varios puntos están en una misma recta se dice que están alineados y
si están en un mismo plano se dirán coplanarios.
Ejercicio 1.9 Si la familia de
variedades tiene intersección no vacía, probar que es el subespacio afín donde y .
Definición 1.10 Dado un conjunto de
puntos de , consideramos la familia de subvariedades
de que contienen a , que claramente no es
vacía pues contiene a . Se define la variedad engendrada por como la intersección
de esta familia de variedades.
Definición 1.11 Sean y variedades afines de se define su suma como la variedad engendrada por .
Ejercicio 1.12 Si y
son
dos variedades con intersección no vacía probar que donde .
Ejercicio 1.13 Probar que si y son dos variedades afines con intersección no vacía, entonces
.
Definición 1.14 Sean y dos variedades de . Estas variedades se dicen paralelas
cuando una de las direcciones o es
subespacio vectorial de la otra.
Ejercicio 1.15 Sean y dos variedades
paralelas, probar que no tienen puntos en común o una de ellas está contenida
en la otra.
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David Llena Carrasco 2003-10-31