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1 Utilidad del análisis de Fourier

• El análisis de Fourier [1] es una herramienta matemática que permite expresar una función $f\left(t\right)$ en relación a un conjunto de funciones ortogonales $g_i\left(t\right)$, mediante una combinación lineal de éstas. Es decir, $$f\left(t\right)=\sum _i{a}_i{g}_i\left(t\right).$$

• Eligiendo convenientemente el conjunto de funciones ortogonales podemos realizar un análisis de $f\left(t\right)$ en función de las características o propiedades de las funciones $g_i\left(t\right)$.
• Una de las aplicaciones prácticas más frecuentes del análisis de Fourier es la representación de señales en función de sus componentes de frecuencia. Esto se consigue porque las funciones base en el Análisis de Fourier son sinusoides.

2 La serie trigonométrica de Fourier

• Permite representar una función como una suma de funciones sinusoidales.
• Sea $f\left(t\right)$ una función definida en el intervalo $\left(t_0,t_0+\frac{2\pi }{{\omega }_0}\right)$. La serie trigonométrica de Fourier permite representar $f\left(t\right)$ en términos del conjunto ortogonal completo de funciones senoidales [2]

  $$\begin{array}{cc}\{1;\hfill & cos\left({\omega }_{0}t\right),cos\left(2{\omega }_{0}t\right),\cdots ,cos\left(n{\omega }_{0}t\right),\cdots ;\hfill \\ \hfill & sin\left({\omega }_{0}t\right),sin\left(2{\omega }_{0}t\right),\cdots ,sin\left(n{\omega }_{0}t\right),\cdots \}\hfill \end{array}$$

  mediante la combinación lineal (stf)

  $$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.a_{n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+b_{n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.,$$

  (stf)

  donde

  $$t_0<t<t_0+\frac{2\pi }{w_0},$$

  ${\omega }_0$ es la componente de frecuencia fundamental expresada en radianes por segundo y $a_0$, $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes la serie trigonométrica de Fourier.

• Nótese que dicha sumatoria sólo puede reproducir el comportamiento de una función (o una señal) en un intervalo (de tiempo) igual a
  $$\frac{2\pi }{{\omega }_0}.$$

  Tal y como se acaba de definir, dicho intervalo es igual al periodo de la componente de frecuencia más baja que existe en la señal.

3 Los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier

• Los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier expresan la cantidad de cada una de las “señales sinusoidales puras” que deben sumarse entre sí para obtener la señal analizada.
• Matemáticamente, se calculan como la proporción que existe entre la energía de la correlación de la señal con la respectiva función sinusoidal (an) y la energía de esa función sinusoidal (bn), es decir

  $$a_n=\frac{{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}{{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{cos}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}$$

  (an)

  $$b_n=\frac{{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}{{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{sin}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}$$

  (bn)

  siendo

  $$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}.$$

• Para $n=0$

  $$a_0=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)dt,$$

  que como podemos apreciar es el valor medio de $f\left(t\right)$ en el intervalo $\left(t_0,t_0+T\right)$. Se dice que $a_0$ es la componente de corriente directa o DC (Direct Current) de $f\left(t\right)$ en dicho intervalo.

• Por otra parte, sabiendo que $${\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{cos}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt={\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{sin}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt=\frac{T}{2},$$

  las Ecuaciones an y bn también se pueden reescribir de la forma (anOK)

  $$a_n=\frac{2}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt$$

  (anOK)

  y (bnOK)

  $$b_n=\frac{2}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt,$$

  (bnOK)

  que suele ser la más común en la bibliografía [1, 2].

4 La serie exponencial de Fourier

• Es una representación más compacta de la Expresión stf, escrita en función de la exponencial compleja.
• Sean las definiciones (defs_Fes)

  $$\begin{array}{c}{a}_0=F_0\hfill \\ a_n=F_n+F_{-n}\hfill \\ b_n=j\left(F_n-F_{-n}\right),\hfill \end{array}$$

  (defs_Fes)

  siendo $j=\sqrt{-1}$.

  Si sustituimos dichas definiciones en la Ecuación stf, obtenemos que

  $$f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.\left(F_n+F_{-n}\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+\left(j\left(F_n-F_{-n}\right)\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right..$$

  Multiplicando llegamos a que

  $$\begin{array}{c}\hfill f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_{n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+F_{-n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+\\ \hfill j{F}_{n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)-j{F}_{-n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right..\end{array}$$

  Operando

  $$\begin{array}{c}\hfill f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n\left(\right.cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.+\\ \hfill F_{-n}\left(\right.cos\left(n{\omega }_{0}t\right)-jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.\left)\right..\end{array}$$

  Aplicando ahora los cambios trigonométricos (e_sin_cos)

  $$\begin{array}{c}\hfill e^{jn{\omega }_{0}t}=cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\hfill \\ \hfill e^{-jn{\omega }_{0}t}=cos\left(n{\omega }_{0}t\right)-jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\hfill \end{array}$$

  (e_sin_cos)

  en la anterior expresión obtenemos que

  $$f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+F_{-n}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\left)\right..$$

  Operando con el signo de la variable $n$ y deshaciendo parcialmente la sumatoria llegamos a que

  $$\begin{array}{ccc}\hfill f\left(t\right)& \hfill =\hfill & F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+F_{-n}{e}^{j\left(-n\right){\omega }_{0}t}\left)\right.\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & F_0+\sum _{n=1}^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}.\hfill \end{array}$$

  Finalmente, juntando las dos sumatorias y el término que quedaba fuera nos queda que (Fes)

  $$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}.$$

  (Fes)

• La Ecuación Fes es conocida como la serie exponencial de Fourier y a los $F_n$ como los coeficientes de dicha serie.

5 Los coeficientes de la serie exponencial de Fourier

• Usando las definiciones realizadas en la Expresión defs_Fes es posible encontrar fácilmente que (F_n)

  $$F_n=\frac{1}{2}\left(a_n-j{b}_n\right).$$

  (F_n)

• Sustituyendo en esta ecuación las Expresiones anOK y bnOK tenemos que (F_n_OK)

  $$\begin{array}{cc}\hfill F_n& =\frac{1}{2}\left(\right.\frac{2}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt-j\frac{2}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt\left)\right.\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{T}\left(\right.{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt-j{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt\left)\right.\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt\hfill \end{array}$$

  (F_n_OK)

6 Representación de una función periódica en el intervalo $\left(-\infty ,\infty \right)$

• Hasta ahora hemos encontrado que es posible representar cualquier función $f\left(t\right)$ en un intervalo finito $\left(t_0,t_0+T\right)$ mediante cualquiera de sus series de Fourier. Fuera de dicho intervalo, $f\left(t\right)$ y su serie de Fourier no son necesariamente iguales.
• Sin embargo, si la función es periódica entonces su representación en serie puede ser aplicada a todo el intervalo $\left(-\infty ,\infty \right)$. Esto se puede demostrar fácilmente si tenemos en cuenta que las funciones base son periódicas ya que $$e^{j\pi {\omega }_{0}t}=e^{j\pi {\omega }_0\left(t+T\right)},$$

  donde recordemos, $T=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$. Dicho resultado implica que las Expresiones stf y Fes (ambas series) son válidas para todo el intervalo $\left(-\infty ,\infty \right)$ cuando $f\left(t\right)$ es periódica.

7 El espectro compejo de Fourier

• El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica equivale realmente a la transformación de la función en términos de sus componentes de frecuencia angulares $${\omega }_0,2{\omega }_0,3{\omega }_0,\cdots$$

  siendo ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ y $T$ el perido de dicha función. Por tanto, disponemos de dos representaciones equivalentes de una misma función: la del dominio del tiempo y la del dominio de la frecuencia.

• A la representación en el dominio de la frecuencia, es decir, cuando indicamos las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencia es a lo que llamamos espectro, que para todas las funciones periódicas es discreto (las funciones se reconstruyen a partir de sus componentes de frecuencia utilizando una sumatoria, no una integral).
• Cuando utilizamos la serie exponencial de Fourier (Ecuación Fes) las componentes de frecuencia angulares son $$0,\pm {\omega }_0,\pm 2{\omega }_0,\cdots$$

  y las correspondientes amplitudes del espectro complejo¹

  $$F_0,F_{\pm 1},F_{\pm 2},\cdots .$$

  Puesto que dichas magnitudes son complejas, se las puede describir también en función de su magnitud (o módulo) y fase.

8 Representación de una función (cualquiera) en el intervalo$\left(-\infty ,\infty \right)$: la transformada de Fourier

• En este punto hemos aprendido a representar cualquier función $f\left(t\right)$ en términos de una serie exponencial (o trigonométrica) en un intervalo finito, y que para el caso especial en que dicha función es periódica, se puede extender su representación a todo el intervalo $\left(-\infty ,\infty \right)$.
• Conociendo esto, para tratar con señales no periódicas podemos utilizar el hecho de que cualquier función no periódica se la puede considerar como tal (es decir, periódica) si suponemos que tiene un periodo infinito, es decir, si $T\to \infty$.
• Sea $f_T\left(t\right)$ una función de periodo $T$ y sea $f\left(t\right)$ una función no periódica. Definamos $f_T\left(t\right)$ de forma que $$\underset{T\to \infty }{lim}{f}_T\left(t\right)=f\left(t\right),$$

  es decir, que deja de ser periódica sólo cuando su periodo tiende a infinito. Por ser $f_T\left(t\right)$ periódica existe su serie exponencial de Fourier que es de la forma (fT) (véase la Expresión Fes)

  $$f_T\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t},$$

  (fT)

  donde los coeficientes de Fourier (usando la Expresión F_n_OK) son (Fn2)

  $$F_n=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{f}_T\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt.$$

  (Fn2)

• El término $F_n$ representa la amplitud de la componente de frecuencia $n{\omega }_0$, donde recordemos, la frecuencia fundamental ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$. Cuando $T$ aumenta, ${\omega }_0$ disminuye y el espectro se vuelve más denso. También ocurre (véase la Ecuación Fn2) que se reduce la amplitud de cada componente.
• Cuando $T=\infty$, los $F_n$ se vuelven infinitésimamente pequeños pero también existe un número infinito de componentes espectrales. Bajo estas condiciones, el espectro existe para cualquier valor de $\omega$ y ya no es un espectro discreto sino continuo. Resaltaremos esta idea con el cambio de notación $$n{\omega }_0={\omega }_n,$$

  con lo que las Ecuaciones fT y Fn2 quedan como

  $$f_T\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{j{\omega }_{n}t}$$

  y

  $$F_n=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{f}_T\left(t\right)e^{-j{\omega }_{n}t}dt.$$

  Como $F_n$ es función de ${\omega }_n$, también haremos el cambio de notación

  $$F_n=F_n\left({\omega }_n\right)$$

  con lo que estas ecuaciones se escriben como

  $$f_T\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n\left({\omega }_n\right)e^{j{\omega }_{n}t}$$

  y

  $$F_n\left({\omega }_n\right)=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{t_0}^{t_0+T}{f}_T\left(t\right)e^{-j{\omega }_{n}t}dt.$$

  Por último, sea por definición

  $$F_n\left({\omega }_n\right)=\frac{F\left({\omega }_n\right)}{T},$$

  con lo que las Ecuaciones fT y Fn2 finalmente quedan como (fT2)

  $$f_T\left(t\right)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }F\left({\omega }_n\right)e^{j{\omega }_{n}t}$$

  (fT2)

  y (Fn3)

  $$F\left({\omega }_n\right)={\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }{f}_T\left(t\right)e^{-j{\omega }_{n}t}dt.$$

  (Fn3)

  (recuérdese que el rango de integración es ahora $\left(-\infty ,\infty \right)$).

• Si sustituimos $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ en fT2 obtenemos que (fT3)

  $$f_T\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }F\left({\omega }_n\right)e^{j{\omega }_{n}t}{\omega }_0.$$

  (fT3)

  Como ya hemos indicado, cuando $T\to \infty$, $f_T\left(t\right)=f\left(t\right)$, ${\omega }_0\to 0$ y existe un número infinito de términos ${\omega }_n$. Por tanto, la suma discreta de la Equación fT3 se convierte en una integral (con lo que desaparecen los subíndices sobre $n$) y ${\omega }_0$ debe representarse por $d\omega$. Así, la Ecuación fT3 queda como (iFt)

  $$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega$$

  (iFt)

  y la Ecuación Fn3 como (Ft)

  $$F\left(\omega \right)={\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt.$$

  (Ft)

• La función $F\left(\omega \right)$ representa las amplitudes de las infinitas componentes espectrales de $f\left(t\right)$ y se conoce como función de densidad espectral.
• Las Ecuaciones iFt y Ft se conocen como el par de transformadas de Fourier. Se dice que Ft es la transformada directa de Fourier de $f\left(t\right)$ y que iFt es la transformada inversa de Fourier de $F\left(\omega \right)$.
• Nótese que, según la transformada de Fourier, cuando las señales son aperiódicas su espectro es contínuo (denso). Por el contrario, la transformada de Fourier de una señal periódica (que coincide con su representación mediante una de las series de Fourier) genera un espectro discreto (véase la Ecuación Fes).
• Resumiendo: Fourier razonó que una señal sin periodo puede ser considerada como periódica si se le supone un periodo infinito [2]. De manera más precisa, en la representación en serie de Fourier de una señal periódica, conforme el periodo se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente² en la frecuencia se hacen más cercanas. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencias forman un continuo y la suma en serie de Fourier se convierte en la integral [1].

9 Representación de una señal en los dominios del tiempo y de la frecuencia

• Si la función (o señal) $F\left(\omega \right)$ es la transformada (directa) de Fourier de la función (o señal) $f\left(t\right)$, lo que notaremos mediante $$\mathcal{ℱ}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(\omega \right),$$

  entonces $F\left(\omega \right)$ representa las amplitudes relativas de las diferentes componentes exponenciales complejas. Ambas representaciones (la del tiempo $f\left(t\right)$ y la de la frecuencia $F\left(\omega \right)$) especifican de forma única a la misma función (o señal).

• Como ya sabemos (Eq. Ft), en general $F\left(\omega \right)$ es compleja, es decir, su representación módulo-argumento es $$F\left(\omega \right)=\left|F\left(\omega \right)\right|e^{j\varphi \left(\omega \right)},$$

  donde $\left|F\left(\omega \right)\right|$ es el módulo o magnitud de $F\left(\omega \right)$ y se calcula como

  $$\left|F\left(\omega \right)\right|=\sqrt{Re{\left(\omega \right)}^2+Im{\left(\omega \right)}^2},$$

  y donde $\varphi \left(\omega \right)$ es el argumento o fase de $F\left(\omega \right)$ y se calcula como

  $$\varphi \left(\omega \right)=arctan\frac{Im\left(\omega \right)}{Re\left(\omega \right)},$$

  siendo

  $$F\left(\omega \right)=Re\left(\omega \right)+jIm\left(\omega \right).$$

  Por tanto, en general se necesitan ambos diagramas (el módulo y la fase) para representar gráficamente a $F\left(\omega \right)$.

10 El módulo de espectro de las funciones reales es simétrico

• En el análisis de señales, todas las transformadas de Fourier que se realizan son necesariamenta a funciones reales (sin componente imaginaria).
• Cuando $f\left(t\right)$ es real, entonces

  $$F\left(\omega \right)=F^{\ast }\left(-\omega \right),$$

  y como consecuencia

  $$\left|F\left(\omega \right)\right|=\left|F\left(-\omega \right)\right|,$$

  es decir, el módulo del espectro de $f\left(t\right)$ es simétrico respecto de la frecuencia $0$.

Demostración

• Si aplicamos el Cambio e_sin_cos en la Ecuación Ft obtendremos que
  $$F\left(\omega \right)={\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)cos\left(\omega t\right)dt-j{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)sin\left(\omega t\right)dt.$$

• Por otra parte, usando el mismo cambio pero para $-\omega$
  $$F\left(-\omega \right)={\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)cos\left(\omega t\right)dt+j{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)sin\left(\omega t\right)dt.$$

• Por tanto, se cumple que
  $$F\left(\omega \right)=F^{\ast }\left(-\omega \right).$$

11 La transformada de Fourier de una función rectangular

• Sea la función

  

  Determínese su espectro de Fourier.

• Aplicando la Ecuación Ft tenemos que $$\begin{array}{cc}F\left(\omega \right)\hfill & ={\int \; <!--nolimits-->}_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}A{e}^{-j\omega t}dt\hfill \\ \hfill \\ \hfill & =\frac{A}{j\omega }{e}^{-j\omega t}{|}_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & =\frac{A}{j\omega }\left(e^{j\omega \frac{\tau }{2}}-e^{-j\omega \frac{\tau }{2}}\right)\hfill \\ \hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\mathrm{\text{(Teniendo en cuenta que }}{e}^{jx}-e^{-jx}=2jsin\left(x\right).)}\\ \hfill \\ \hfill & =A\tau \frac{sin\left(\omega \frac{\tau }{2}\right)}{\omega \frac{\tau }{2}}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & =A\tau \mathrm{\text{Sinc}}\left(\omega \frac{\tau }{2}\right).\hfill \end{array}$$

• La función $$Sinc\left(x\right)=\frac{sin\left(x\right)}{x}$$

  se llama función muestreo y es muy importante en la Teoría de la Comunicación de Señales porque, como veremos, es la función que usan los convertidores Digital/Analogic para pasar la señal digitalizada desde de la modulación por impulsos a su representación continua original [1].

• Nótese que $F\left(\omega \right)$ es una función real y por tanto se puede representar gráficamente mediante una única curva.³

Nótese que si si $\tau \to \infty$ entonces el espectro tiende a convertirse en un impulso en $\omega =0$ y si $\tau \to 0$ entonces el espectro tiende a convertirse en una función constante.

References