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Ampliación de Topología (curso 2003-04)

En esta asignatura pretendemos que el alumno maneje con soltura dos de las herramientas básicas de la Topología Algebraica como son el grupo fundamental, y los grupos de homología singular, que calcularemos sobre algunas variedades topológicas de dimensiones 1, 2, 3 y superiores. Recordaremos el contexto histórico en el que estas herramientas se constituyeron y demostraremos varios teoremas famosos de esta disciplina en los que su uso ha sido crucial.

TEMARIO:

1. El grupo fundamental:
- Homotopía de caminos. El grupo fundamental. Efecto de una aplicación continua sobre el grupo fundamental. Cambio de punto base.
- Homotopía de aplicaciones. Grupos de homotopía. Equivalencias homotópicas. Tipos de homotopía. Retractos de deformación. Invariancia homotópica del grupo fundamental.
- El grupo fundamental de la circunferencia. Grado de una aplicación continua S^{1 ®}S¹. Teorema del punto fijo de Brouwer.

2. Teorema de Seifert y Van Kampen:
- Teorema de Seifert y Van Kampen.
- El grupo fundamental de un grafo. Variación del grupo fundamental al adjuntar 2-celdas. El grupo fundamental de una superficie compacta. Orientabilidad. Grupo fundamental de un CW-complejo (de dimensión 2).
- Grupo fundamental del exterior de un nudo.

3. Homología singular:
- Cadenas singulares de un espacio. Homología singular. Funtorialidad.
- H₀ y arco-conexión. Homología reducida.
- H₁ y el grupo fundamental.
- Teorema de invariancia homotópica.
- Teorema de las cadenas pequeñas. Sucesión exacta de Mayer-Vietoris.
- Homología de las esferas Sⁿ. Grado de aplicaciones continuas S^{n ®}Sⁿ.
- Teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión n.
- Teorema de Hopf sobre campos vectoriales en esferas de dimensión par.
- Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de invariancia del dominio.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

C. Kosniowsky, Topología Algebraica, Ed. Revert‚ 1972 (Harcourt, Brace & World, Inc., 1967).
W. S. Massey, Introducción a la Topología Algebraica, Ed. Revert‚ 1986 (Cambridge University Press, 1980).

J. W. Vick, Homology Theory, an Introduction to Algebraic Topology, Academic Press, 1973.
J. R. Munkres, Topología, 2ª Edición, Prentice Hall, 2002.
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Programa de la asignatura en formato word.