Proyecto coordinado BFM2001-3878-C02

Funcionales de la densidad de sistemas mecano-cuánticos y teoría de funciones especiales

Coordinador: Prof. Dr. Jesús Sánchez-Dehesa

Sub-proyecto BFM2001-3878-C02-02

Funciones especiales y teoría de aproximación

Coordinador: Prof. Dr. Andrei Martínez Finkelshtein

Otros miembros del grupo:

• Prof. Dr. Juan José Moreno Balcázar (Universidad de Almería)
• Prof. Dr. Pedro López Artés (Universidad de Almería)
• Prof. Dr. Pedro Martínez González (Universidad de Almería)
• Prof. Joaquín Sánchez Lara (Universidad de Almería)
• Prof. Dr. Miguel Ángel Piñar González (Universidad de Granada)
• Profa. Dra. Teresa Encarnación Pérez Fernández (Universidad de Granada)
• Profa. Dra. María Álvarez de Morales Mercado (Universidad de Granada)
• Prof. Dr. A. B. J. Kuijlaars (Katholieke Universiteit Leuven, Bélgica)
• Prof. Dr. B. Beckermann (Université de Lille1, Francia)

Descripción del proyecto:

Teoría de Funciones Especiales:
Aparte de la motivación interna para el estudio de las funciones especiales, éste encuentra dos alicientes importantes: las aplicaciones en la física y el análisis matemático. En efecto, muchas de las funciones son “especiales” por ser autovalores de ciertos operadores diferenciales. También la subclase amplia de polinomios ortogonales y de sus generalizaciones se siente a sus anchas en el campo de la teoría de la aproximación. Finalmente, el análisis numérico y el cálculo simbólico son consumidores naturales de los resultados en esta esfera.
Por ello, en esta actividad se contempla por una parte la utilización e implementación de las técnicas matemáticas y numéricas que se necesitan en las actividades restantes (cálculo variacional, problemas de momentos, desigualdades del análisis de Fourier y polinomios ortogonales clásicos, etc.). Por otra parte, las funciones especiales usualmente poseen diversas "descripciones" (ecuación diferencial, ortogonalidad, relación de recurrencia), y es conveniente estudiar dichas funciones directamente a partir de esas propiedades. Ello obliga a enfrentar la extensión y el desarrollo de nuevas ideas y métodos matemáticos ligados al análisis complejo constructivo, la teoría de potencial, la teoría de polinomios de ortogonalidad no estándar (Sobolev, múltiple, no-hermitiana), la teoría de aproximación racional y multivariada sí como la asintótica de funciones especiales. Esta actividad ha constituido un elemento de primer orden en los dos proyectos INTAS referidos con anterioridad y juega un papel aún más relevante en el proyecto europeo que está pendiente de evaluación y que también hemos mencionado antes.

Teoría de aproximación:
Esta actividad está íntimamente ligada a la anterior. La idea principal detrás de los estudios de aproximación es que amplias clases de funciones (usualmente complejas o conocidas sólo en parte) pueden ser descritas por medio de funciones más simples (aproximantes) que en cambio preservan muchas de sus propiedades importantes. En el campo de las funciones analíticas de variable compleja la aproximación racional se ha mostrado como el instrumento más versátil. Por una parte, ésta permite reconstruir la función a partir de una información local (aproximación de Padé), lo que encuentra múltiples aplicaciones en la mecánica, en la física y en el análisis numérico. Por otra parte, la aproximación uniforme (difícil de estudiar) se puede "modelar" bien por medio de la aproximación multipuntual de Padé. Finalmente, la aproximación simultanea de un sistema de funciones da lugar a la aproximación de Hermite-Padé. Lo característico de estas aproximaciones es que en todos los casos los aproximantes pueden ser descritos por medio de polinomios que presentan una propiedad de ortogonalidad: estándar, variante, no hermitiana, según el caso. Por esta razón, el estudio de las propiedades algebraicas y analíticas de sistemas de polinomios ortogonales ocupa un papel central en la aproximación racional. Más aun, otras funciones especiales, más o menos “clásicas”, también poseen propiedades de ortogonalidad no estándar poco explotadas.
Por otra parte, la mayoría de los problemas bien estudiados sobre el plano complejo están totalmente abiertos en dimensiones superiores. Preguntas tan “elementales” como la distribución de los nodos de interpolación optimales sobre la esfera siguen sin respuesta, y están siendo centro de atención de múltiples grupos de investigadores de campos tan distintos de las matemáticas como el análisis, teoría de códigos, geometría y otros.

Listado de publicaciones:

2002:

1. A. Martínez Finkelshtein, E. B. Saff. Asymptotic properties of Heine-Stieltjes and Van Vleck polynomials. J. Approx. Theory 118 (2002), 131-151.
2. J. S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, V. N. Sorokin. Short-wave asymptotics of the information entropy of a circular membrane, Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 12, No. 11, 2387-2392 (2002).
3. J. S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, V. N. Sorokin. Quantum information entropies for highly excited states of single-particle systems with power-type potentials. Phys. Review A, Vol. 66, 062190, 1-7 (2002).
4. J.F. Sánchez Lara. On the asymptotic expansion of the entropy of Gegenbauer polynomials. J. Comput. Appl. Math. 142, 401-409 (2002).
5. María Álvarez de Morales, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar. Orthogonal polynomials associated with a Delta-Sobolev inner product. J. Difference Equ. Appl. 8 (2002), no. 2, 125-151.
6. Manuel Alfaro, María Álvarez de Morales, M. Luisa Rezola. Orthogonality of the Jacobi polynomials with negative integer parameters. J. Comput. Appl. Math. 145 (2002), no. 2, 379-386.

2003:

7. L. Castaño-García, Juan J. Moreno-Balcázar. A Mehler-Heine type formula for Hermite-Sobolev orthogonal polynomials. J.Comput. Appl. Math. 150 (2003), 25-35.
8. M. Alfaro, J.J. Moreno-Balcázar, M.L. Rezola. Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials: asymptotics for coherent pairs type II. Journal of Approximation Theory, 122 (1), 79-96, 2003.
9. J. S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, V. N. Sorokin. Asymptotics of information entropies of some Toda-like potentials. J. Math. Phys. Vol. 44, No. 1, 36-47 (2003).
10. J. Sánchez-Ruiz, P. L. Artés, J. S. Dehesa. Expansion in series of varying Laguerre polynomials and some applications to molecular potentials. J. Computational and Applied Math., Vol. 153, 1, 411-421 (2003).
11. A. Cachafeiro, F. Marcellán, J.J. Moreno-Balcázar. On asymptotics properties of Freud-Sobolev orthogonal polynomials. Journal of Approximation Theory, 125(1), 26-41, 2003.
12. A.B.J. Kuijlaars and M. Vanlessen. Universality for eigenvalue correlations at the origin of the spectrum. Communications in Mathematical Physics 243 (2003), 163-191.
13. A.B.J. Kuijlaars. Riemann-Hilbert analysis for orthogonal polynomials, in: "Orthogonal Polynomials and Special Functions" (E. Koelink and W. Van Assche eds), Lecture Notes in Mathematics Vol. 1817, Springer-Verlag, 2003, pp. 167-210.
14. H. G. Meijer, M. A.Piñar. A generating function for Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory 120 (2003), no. 1, 111-123.

2004:

15. B. Beckermann, M. Castro. On the determinancy of complex Jacobi matrices. Math. Scand. 95 (2004) 285-298.
16. A. Martínez-Finkelshtein, V. Maymeskul, E.A. Rakhmanov, E.B. Saff. Asymptotics for minimal discrete Riesz energy on curves in R^d. Canadian Journal of Mathematics Vol. 56, No. 3, 529–552 (2004).
17. R. Álvarez Nodarse, J. J. Moreno-Balcázar. Asymptotic properties of generalized Laguerre orthogonal polynomials. Indagationes Mathematicae, 15(2), 151-165, 2004.
18. P.M. Bleher and A.B.J. Kuijlaars. Random matrices with external source and multiple orthogonal polynomials. International Mathematics Research Notices 2004:3 (2004), 109-129.
19. A.B.J. Kuijlaars, A. Martinez-Finkelshtein. Strong asymptotics for Jacobi polynomials with varying nonstandard parameters. J. d'Analyse Mathematique 94, 195-234 (2004). Preprint math.CA/0309443, 2003.
20. V. Buyarov, J. S. Dehesa, A. Martinez-Finkelshtein, J. Sanchez-Lara. Computation of the entropy of polynomials orthogonal on an interval. SIAM J. Scientific Computing 26 (2), 488-509 (2004). Preprint math.NA/0310238, 2003.
21. B. Beckermann, A. Martinez-Finkelshtein, E.A. Rakhmanov, and F. Wielonsky. Asymptotic upper bounds for the entropy of orthogonal polynomials in the Szegö class. J. Math. Physics 45 (11), 4239-4254 (2004). También preprint math.CA/0311055, 2003.

2005:

22. A.B.J. Kuijlaars, A. Martinez-Finkelshtein, R. Orive. Orthogonality of Jacobi polynomials with general parameters. Electronic Trans. Numer. Anal. Vol. 19, 1-17 (2005), [.pdf]. También preprint math.CA/0301037.
23. A. Martinez-Finkelshtein, P. Martínez-González, R. Orive, Asymptotics of polynomial solutions of a class of generalized Lamé differential equations, Electronic Trans. Numer. Anal., Vol. 19, 18-28 (2005) [ .pdf file]
24. A. Martinez-Finkelshtein, R. Orive, Riemann-Hilbert analysis for Jacobi polynomials orthogonal on a single contour, J. Approx. Theory Vol. 134, 137-17 (2005). Also preprint math.CA/04103205.
25. Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar. Classical orthogonal polynomials in two variables: A matrix approach. Numerical Algorithms 39 (2005) 131 - 142.
26. Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar. Weak classical orthogonal polynomials in two variables. J. Comput. Appl. Math. 178 (2005), 191 - 203.
27. B. Beckermann, J. Coussement, W. Van Assche. Multiple Wilson and Jacobi-Piñeiro polynomials. J. Approx. Theory 132 (2005), 155-181. Preprint math.CA/0303093.
28. I. Area, E. Godoy, F. Marcellán, J.J. Moreno Balcázar. $Delta$-Sobolev orthogonal polynomials of Meixner type: asymptotics and limit relation. J. Comput. Appl. Math. 178 (2005), 21-36.
29. J. J. Moreno-Balcázar. Smallest zeros of some types of orthogonal polynomials: asymptotics. J. Comput. Appl. Math. 179 (2005), 289-301.
30. B. Beckermann, Image numérique, GMRES et polynômes de Faber, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 855-860.
31. Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, and Miguel A. Piñar. On multivariate classical orthogonal polynomials, aceptado en Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 2005.
32. Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, and Miguel A. Piñar. Second-order partial differential equations for gradients of orthogonal polynomials in two variables, aceptado en J. of Comput. Appl. Math.
33. A. Martinez-Finkelshtein, K. T.-R. McLaughlin, and E. B. Saff, Szegö orthogonal polynomials with respect to an analytic weight: canonical representation and strong asymptotics. Aceptado en Constructive Approximation. Preprint math.CA/0502300.
34. A. Martinez-Finkelshtein, Szegö polynomials: a view from the Riemann-Hilbert window. Aceptado en Electronic Trans. Numer. Anal. Preprint math.CA/0508117.
35. J. S. Geronimo, A. Martinez-Finkelshtein, On extensions of a theorem of Baxter. Aceptado en J. Approx. Theory. Preprint math.CA/0508224.
36. B. Beckermann, M. Crouzeix, A lenticular version of a von Neumann inequality. Aceptado en Arch. Math. (2005).
37. B. Beckermann, S.A. Goreinov, E.E. Tyrtyshnikov, Some remarks on the Elman estimate for GMRES. Aceptado en SIMAX (2005).

Preprints:

38. A. Martinez-Finkelshtein, J. F. Sanchez-Lara, Shannon entropy of symmetric Pollaczek polynomials. Preprint math.CA/0504250.
39. A. Martinez-Finkelshtein, Equilibrium Problems Potential Theory in the Complex Plane, Lecture Notes from Summer School "Orthogonal Polynomials and Special Functions", Universidad Carlos III de Madrid (2004). Preprint 2005.
40. A. M. Delgado, T. E. Pérez. Szász-Mirakyan operators and classical Laguerre orthogonal polynomials. Preprint, 2005.
41. María Álvarez de Morales, Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, and Miguel A. Piñar, Semiclassical Orthogonal Polynomials in two variables, preprint (2005).
42. María Álvarez de Morales, Lidia Fernández, Teresa E. Pérez, and Miguel A. Piñar, A matrix Rodrigues formula for classical orthogonal polynomials in two variables, preprint (2005).
43. T. Claeys, A.B.J. Kuijlaars, and M. Vanlessen. Multi-critical unitary random matrix ensembles and the general Painlevé II equation. Preprint math.CA/0508062.
44. T. Claeys, A.B.J. Kuijlaars. Universality of the double scaling limit in random matrix models, Preprint math.CA/0501074.
45. B. Beckermann, G. Golub, G. Labahn, On the numerical condition of a generalized Hankel eigenvalue problem, Preprint 2005.
46. B. Beckermann, Discrete orthogonal polynomials and superlinear convergence of Krylov subspace methods in numerical linear algebra, Lecture Notes from Summer School "Orthogonal Polynomials and Special Functions", Universidad Carlos III de Madrid (2004). Preprint 2005.
    

Última revisión: 20 de Septiembre de 2005