UN PASEO POR LA TOPOLOGÍA EN LA WEB

Última modificación 8-10-2007, disponible en http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen5/introduccion.html

Estoy preparando una versión de esta página en el blog http://topologia.wordpress.com

Introducción

La palabra "topos" proviene del griego y significa "lugar". La Topología es una rama muy importante de las Matemáticas que estudia aquellas propiedades de los objetos geométricos que tienen que ver con la "proximidad" o la "posición relativa" entre puntos. Podríamos referirnos a la Topología como una "geometría cualitativa", en la que se deja a un lado nociones cuantitativas como longitud, ángulo, área, volumen, etc. (propias de la geometría clásica) y se centra más bien en nociones cualitativas como, por ejemplo, si tiene agujeros o no, borde, o si se puede partir en componentes conexas, etc.

Se considera a Leonhard Euler el pionero de la Topología al resolver el famoso problema de los puentes de Königsberg. Euler se refirió a este problema como un problema de "geometriam situs" o geometría de posición. Ya a mediados del siglo XIX, siguieron otros problemas del mismo estilo. El más famoso es sin duda el problema de colorear un mapa con sólo cuatro colores (planteado por Francis Guthrie) que mencionamos después.

Johan B. Listing fue quien acuñó el termino topología en su artículo "Vorstudien zur Topologie" en 1847. En el siglo XX se ha utilizado también el nombre analisis situs o análisis de posición para referirse a la geometría de las superficies, estudiadas por Georg. F. Riemann y Camille Jordan, entre otros. Muchos destacan el artículo de Henri Poincaré "Analisis Situs" de 1895, como el primer estudio sistemático de la Topología, y donde se empieza a tratar con rigor conceptos topológicos.

Felix Klein (1849-1925) contribuía en su programa de Erlangen (1872) a unificar de una manera elegante las distintas geometrías existentes del momento. Según él, se pueden clasificar los distintos tipos de geometrías de acuerdo al tipo de transformaciones que se permiten realizar. Así, por ejemplo, la Geometría Euclídea estudia las propiedades que se conservan a través de los movimientos euclídeos, la Geometría Proyectiva respecto a las proyectividades y la Geometría Diferencial respecto a difeomorfismos. ¿Y cómo se ve a la Topología bajo este punto de vista? Por ejemplo, un topólogo consideraráuna elipse o un cuadrado como una circunferencia (como si fueran gomas elásticas), igualmente, verá un cubo o la superficie de una naranja como una esfera perfecta, ya que le dará igual los picos del cubo ni las arrugas de la naranja (que sí importan a un Geómetra Euclideo o un Geómetra Diferencial). El topólogo puede alisarlos sin problemas mediante transformaciones que se llaman "homeomorfismos" (Se dice entonces que los objetos transformados son homeomorfos entre ellos). Un topólogo es incapáz de distinguir un donut de una taza de café: Como se aprecia en esta fotografía (tomada "by me" en el London Science Museum) como si fuesen objetos de arcilla fresca, podemos doblarlos, estirarlos o encogerlos para pasar de uno a otro. ¡Cuidado! No se permiten transformaciones que provocan una discontinuidad como por ejemplo cortar, pinchar o pegar puntos separados. Según el punto de vista de Klein, la Topología, en su intento de clasificar los objetos geométricos salvo homeomorfismo, proporciona herramientas o invariantes que permiten distinguir entre espacios no homeomorfos, y estudia aquellas propiedades que se conservan a través de homeomorfismos.

Ya que hemos hablado del donut y la naranja, ¿cómo podríamos distinguirlos? El donut tiene un agujero y la naranja no, pero ¿cómo podrían descubrirlo seres 2-dimensionales que viviesen sobre sus superficies? (Recordar que la superficie de un donut se llama toro). Necesitarían, por ejemplo, un perro (2-dimensional, por supuesto). Atado con una correa larga elástica y sin soltar el extremo libre, lo dejarían correr un par de días por la superficie y lo llamarían para que volviese a casa. En caso de vivir sobre un donut, es bastante probable que la correa esté tirante, tanto más cuantas más vueltas haya dado alrededor del agujero del donut. Sin embargo, en el caso de vivir sobre una naranja lo más normal es que vuelva con la correa floja (puede que venga con la correa tirante también, pero sólo si ha dado la casualidad de que haya recorrido una circunferencia máxima). Dicho de forma más escueta, todo lazo en la esfera se puede contraer a un punto, y en cambio sobre el toro no.

Demos ahora un paseo por algunos de los problemas famosos de la Topología: el problema de los puentes de Königsberg y el problema de colorear un mapa con cuatro colores nos introducen en el maravilloso mundo de la Teoría de Grafos. Veremos después algunas superficies y sus propiedades fascinantes. Hablaremos por último del teorema de clasificación de superficies, una de nuestras metas en este curso básico de Topología, y del problema de la clasificación de 3-variedades, planteado por Henri Poincaré.

El problema de los puentes de Königsberg

El primer problema que dio lugar al nacimiento de la Topología se remonta a 1736, año en el que Euler resuelve el problema de los puentes de Königsberg publicado en un artículo titulado: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Solución de un problema relacionado con la geometría de posición).

 

 

Euler demuestra que es imposible atravesar los siete puentes de Königsberg pasando exactamente una vez por cada uno de ellos. Para ello, traduce el problema en otro en el que intervienen vértices (uno por cada región que podemos caminar a pie) y aristas (una por cada puente).

Se trata pues de encontrar un camino que pase por todas y cada una de las aristas una y sólo una vez (o, dicho de otro modo, dibujar la figura sin levantar el lápiz del papel). El problema en general tiene solución si y sólo si tal figura contiene a lo más dos vértices con un número impar de aristas. Esto no ocurre en el caso de los puentes de Königsberg (ya que los cuatro vértices son impares). A los figuras con esta propiedad se les llama grafos Eulerianos en el lenguaje actual.

Páginas web relacionadas:

Los puentes de Königsberg, del libro "Cuentos con cuentas" de Miguel de Guzmán, Red Olímpica, Buenos Aires, 1997. (Parece que han quitado estos cuentos de internet, dejo la referencia de todos modos).

El gran desarrollo y aceptación que ha conseguido la teoría de grafos en nuestros días es de todos conocido. Ahí van algunos enlaces para saber más:

Contenido sobre Teoría de Grafos en Wikipedia.

Páginas sobre teoría de grafos: Gregorio Hernández (UPM), Thomas Emden-Weinert (Hamburgo), con enlaces a otras páginas interesantes.

Un programa para trabajar con grafos de Alejandro Rodríguez (UPV).

El problema de los cuatro colores

En 1850 Francis Guthrie, al observar que podía colorear el mapa de Inglaterra con sólo 4 colores, preguntó a su hermano Frederick, si cuatro colores eran suficientes para colorear cualquier mapa (esto es, sin que dos países colindantes tuviesen el mismo color). Frederick se lo preguntó entonces a su profesor de la Universidad Augustus de Morgan.

La solución a este problema ha necesitado la intervención de muchos matemáticos famosos como, Hamilton, Carles Peirce, Cayley, Kempe, Tait, Hewwood, Veblen, Birkhoff, Franklin, entre otros. Finalmente en 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken demuestran que sí es posible, después de reducir el problema a cerca de 1500 casos particulares, tarea que requirió nada menos que 1200 horas de cálculos con un ordenador de la época.

Páginas web relacionadas:

The four colour theorem, incluido en la página The MacTutor History of Mathematics archive

Cuatro colores bastan, del libro "Cuentos con cuentas" de Miguel de Guzmán.

The four colour problem: Una nueva demostración de Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas, 1995.

 

La fórmula de Euler para poliedros: v-a+c=2

Esta famosa fórmula descubierta por Euler en 1750, relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo (en particular, homeomorfo a una esfera). Es curioso el hecho que verdaderos expertos en poliedros como Arquímedes o Descartes no cayeran en la cuenta de esta relación, quizás fue porque se trataba de una fórmula en la que no intervenía ninguna magnitud de medida.

Ejercicio 1: Demostrar que los únicos poliedros regulares son los cuerpos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Un poliedro regular es aquél en el que cada cara tiene el mismo número de aristas y, además, en cada vértice concurren el mismo número de aristas.

En la fórmula anterior Euler supone que los poliedros son convexos. En general, para poliedros no convexos se tiene que

v-a+c=2-2g,

donde g denota el número de agujeros del poliedro. Descubierta en 1813 por Anoine-Jean Lhuilier (1750-1840), es el primer invariante topológico que se conoce. Se suele denotar por c = v-a+c , se le llama característica de Euler (ver superficies orientables más adelante).

Ejercicio 2: Probar que para un poliedro en forma de toro se cumple v-a+c=0. Se puede concluir entonces que el toro y la esfera no son homeomorfos ya que tienen características de Euler distintas.

Páginas web relacionadas:

El matemático como naturista, del libro "Cuentos con cuentas" de Miguel de Guzmán.

Euler's formula for poliedra, Euler's formula in higher dimensions, Visualizing the hypercube de la página de Zbigniew Fiederorwicz

  

La cinta de Möbius, el plano proyectivo, el toro y la botella de Klein

Seguro que todos hemos construido una cinta (o banda) de Möbius alguna vez: se recorta una tira rectangular de papel, y pegamos los dos extremos después de haber dado 1/2 vuelta a uno de ellos.

Esta superficie es famosa por tener una sola cara y por borde una circunferencia (y no dos como la cinta cilíndrica). Además, no es orientable (un supuesto habitante de dimensión dos que viviese en esta superficie podría aparecer después de rodear toda la banda con su corazón en el lado izquierdo, o si tuviese un reloj de pulsera, las agujas girarían en sentido contrario al usual). August Möbius (1790-1868) publica una descripción de esta superficie y sus propiedades más destacables en 1865 (aunque ya J. B. Listing publicó 4 años antes un artículo sobre superficies no orientables). Esta superficie está llena de sorpresas, por ejemplo, al cortarla justo por su mitad, por una línea paralela al borde, se consigue una sola pieza (y no dos como ocurre con la cinta cilíndrica). Podemos ir más allá: Os propongo el siguiente ejercicio:

Ejercicio 3: Estudiar qué ocurre cuando cortamos por su ecuador una cinta cilíndrica (retorcida un número par de medias vueltas) o una cinta de Moebius (retorcida un número impar de medias vueltas). ¿Y si las cortamos por un paralelo a 1/3 del borde? Realiza más experimentos de este tipo e intenta dar una descripción del resultado usando nudos y enlaces de cintas (ver enlace abajo).

 Si "cosemos" dos discos a lo largo de cada uno de los dos bordes de una cinta cilíndrica se obtiene un cilindro (con sus tapas), que es homeomorfo a una esfera. El plano proyectivo es otra superficie no orientable que se obtiene cosiendo o pegando un disco a lo largo del borde de una banda de Möbius. Este cosido no se puede conseguir físicamente en R3 y es necesario ir a R4 para lograrlo. Es posible representarlo en R3, aunque eso sí, con auto intersecciones (idea de Jacob Steiner, 1853). Consideramos, tal como se muestra en la siguiente figura, una banda de Möbius en forma de "bonete cruzado", con su agujero por abajo.

La ventaja de esta representación es que el borde es una circunferencia sin cruces por donde podemos coser un disco. El resultado es una representación del plano proyectivo en R3 , conocida como el "bonete cruzado" (con el agujero de abajo ahora ya tapado). Observar que el camino "a" seguido de "b" en la figura es un camino cerrado.

Ya que hemos hablamos de cruces en el borde, es interesante ver que dependiendo del número de medias vueltas que demos a una cinta antes de pegar los extremos, obtenemos cintas cilíndricas, si ese número es par, o cintas de Möbius, si ese número es impar. Los bordes de estas superficies son en general nudos tóricos, es decir, que viven en la superficie de un toro. En la página web de Robert Ferréol encontraréis más información al respecto. También encontraréis en esta página otras representaciones del plano proyectivo en R3, como son la superficie romana o el sombrero de Boy.

Si en un cilindro (sin tapas) pegamos las dos circunferencias del borde en el mismo sentido obtenemos el toro. Y si las pegamos en sentido contrario obtendremos una botella de Klein. Para poder realizar este pegado hemos de estirar y doblar uno de los extremos del cilindro y "meterlo" dentro de si mismo por un lateral (sin cortarlo) para finalmente pegar los dos bordes (como antes, esto no se puede hacer físicamente en R3 , pero sí en R4).

La botella de Klein se puede obtener también cosiendo dos bandas de Möbius por su borde. La botella del Klein tiene otras representaciones en R3 con auto intersecciones (visitar la página de Robert Ferréol).

 

Las superficies que hemos descrito hasta ahora, el cilindro, la cinta de Möbius, el plano proyectivo, el toro y la botella de Klein pueden obtenerse también pegando adecuadamente los lados de un cuadrado. De hecho veremos al final del curso que toda superficie se puede representar de forma plana como un polígono con identificaciones en su borde.

Páginas web relacionadas:

Una cinta mágica, incluida en Experimentos de Geometría, de Miguel de Guzmán.

La cinta de Möbius y el plano proyectivo en la página de Robert Ferréol. Y otras informaciones útiles sobre el toro y la botella de Klein (además trata otras superficies y curvas interesantes).

Möbius strip, Klein bottle de la página de Zbigniew Fiederorwicz.

Mathematics in Robinson's sculptures, esculturas basadas en la cinta de Möbius y otros figuras, realmente fantásticas.

The Möbius band and the projective plane (véase una traducción mía) página de Ronnie Brown donde explica el vídeo Pivoted lines and the Möbius Band. En este vídeo vemos transformase el plano proyectivo RP 2 = {rectas de R 3 que pasan por el origen de coordenadas}, en el plano proyectivo visto como una banda de Möbius y un disco cosidos por su borde.

Geometría proyectiva, una exposición: en la Universidad Complutense de Madrid, 1999.

Miscelanea de superficies de L.A. Cordero.

La botella de Klein tiene su propia página http://www.kleinbottle.com, donde podréis comprar botellas de Klein de cristal, o incluso gorros con esta forma tan peculiar.

¿Cómo jugarían al tres en raya o al ajedrez habitantes 2-dimensionales sobre un toro o una botella de Klein? En la página de Jeff Weeks podréis comprobarlo por vosotros mismos. También se puede jugar al tres en ralla en variedades de dimensión 3, como por ejemplo el 3-toro. Ésta se obtiene a partir de un cubo macizo, pegando las caras opuestas de la misma orientación. Es entretenido "volar" por esta variedad, e imaginarse qué veríamos si nuestro universo tuviese esta forma. Otros "universos" más exóticos son también posibles ...

Nudos tóricos (son aquellos que viven en la superficie de un toro). Queréis saber más sobre nudos? Podéis visitar la página de Robert G. Scharein en The Knotplot Site. También hay otros enlaces a páginas sobre nudos aquí.

 

 

Teorema de clasificación de superficies. El teorema de la curva de Jordan 

Nuestro curso culminará con este famoso teorema. Consideraremos solamente superficies sin borde, conexas y compactas. (Información extraída de la página Classification of Surfaces de Zbigniew Fiederorwicz).

En 1870 Möbius clasifica las superficies orientables que se pueden sumergir en el espacio Euclideo de dimensión 3. Éstas son la esfera y la suma conexa de toros. La suma conexa de dos superficies se obtiene haciendo un agujero en cada una de ellas y pegando después los bordes de los agujeros, el de una superficie con el de la otra. El número g de toros empleados en la suma conexa es lo que se llama género de la superficie (la esfera tiene género 0, ya que puede considerarse como la suma conexa de 0 toros. Además es el elemento neutro de esta operación entre superficies).

Por otro lado, toda superficie no orientable es suma conexa de planos proyectivos. Como antes, el número de planos proyectivos empleados es el género de la superficie (¡Cuidado!, en la página de Zbigniew Fiederorwicz, define el género de una superficie no orientable como 1 menos que el nuestro).

La primera superficie es el plano proyectivo, que tiene género 1, la segunda es la botella de Klein que tiene género 2, etc. Esta clasificación fue anunciada en 1888 por W. von Dyck, aunque dando una prueba incompleta. En 1907, M. Dehn y P. Heegard demuestran esta clasificación, bajo la hipótesis de que todas las superficies se pueden triangular. Y finalmente T. Rado prueba en 1925 que toda superficie es triangulable, lo que completa el teorema de clasificación.

La demostración de que toda superficie es triangulable utiliza una versión fuerte (debida a A. Schönflies) del teorema de la curva de Jordan. En su versión más básica este teorema lo enunció Camille Jordan en 1887 y dice que:

"Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones, una interior y otra exterior ".

Un resultado análogo vale también para la esfera: toda curva cerrada simple la separa en dos regiones.

Este teorema, así enunciado, no es cierto para otras superficies. El teorema de la curva de Jordan para una superficie en general dice que:

"El máximo número de curvas cerradas simples disjuntas que pueden cortar una superficie sin desconectarla es g, donde g es el género de la superficie."

Por ejemplo, para el doble toro (orientable de género 2) y la botella de Klein (no orientable de género 2), las curvas elegidas serían:


 

 Páginas web relacionadas:

Jordan Curve Theorem and its Generalizations de Zbigniew Fiederorwicz. En esta página se habla de la versión fuerte del teorema de la curva de Jordan y generalizaciones a dimensiones superiores.

 

La conjetura de Poincaré: Demostrada por Grigori Parelman (2002-03)

Ver más detalles de esta conjetura y su resolución por Parelman en http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html o en Wikipedia.